Resolver {l}{2x-y=17.522}{x+3y=-5.618}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 17.522 } \\ { x + 3 y = - 5.618 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{11737}{1750} = 6\frac{1237}{1750} \approx 6.706857143$$

$$y = -\frac{14379}{3500} = -4\frac{379}{3500} \approx -4.108285714$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=17.522,x+3y=-5.618$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=17.522$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+17.522$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+17.522\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+17.522.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{8761}{1000}$$

Substitúe x por \frac{y}{2}+\frac{8761}{1000} na outra ecuación, x+3y=-5.618.

$$\frac{1}{2}y+\frac{8761}{1000}+3y=-5.618$$

Suma \frac{y}{2} a 3y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{8761}{1000}=-5.618$$

Resta \frac{8761}{1000} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{14379}{1000}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{14379}{3500}$$

Substitúe y por -\frac{14379}{3500} en x=\frac{1}{2}y+\frac{8761}{1000}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{14379}{3500}\right)+\frac{8761}{1000}$$

Multiplica \frac{1}{2} por -\frac{14379}{3500} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{14379}{7000}+\frac{8761}{1000}$$

Suma \frac{8761}{1000} a -\frac{14379}{7000} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{11737}{1750}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11737}{1750},y=-\frac{14379}{3500}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=17.522,x+3y=-5.618$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\times 3-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 17.522+\frac{1}{7}\left(-5.618\right)\\-\frac{1}{7}\times 17.522+\frac{2}{7}\left(-5.618\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11737}{1750}\\-\frac{14379}{3500}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{11737}{1750},y=-\frac{14379}{3500}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=17.522,x+3y=-5.618$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x-y=17.522,2x+2\times 3y=2\left(-5.618\right)$$

Simplifica.

$$2x-y=17.522,2x+6y=-11.236$$

Resta 2x+6y=-11.236 de 2x-y=17.522 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-y-6y=17.522+11.236$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-6y=17.522+11.236$$

Suma -y a -6y.

$$-7y=17.522+11.236$$

Suma 17.522 a 11.236 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-7y=28.758$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=-\frac{14379}{3500}$$

Substitúe y por -\frac{14379}{3500} en x+3y=-5.618. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\left(-\frac{14379}{3500}\right)=-5.618$$

Multiplica 3 por -\frac{14379}{3500}.

$$x-\frac{43137}{3500}=-5.618$$

Suma \frac{43137}{3500} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{11737}{1750}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11737}{1750},y=-\frac{14379}{3500}$$