Resolver {l}{2x-y=13}{-4x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 4 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=13$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+13$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+13.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Substitúe x por \frac{13+y}{2} na outra ecuación, -4x-6y=-18.

$$-4\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-6y=-18$$

Multiplica -4 por \frac{13+y}{2}.

$$-2y-26-6y=-18$$

Suma -2y a -6y.

$$-8y-26=-18$$

Suma 26 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=8$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{13}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por -1.

$$x=\frac{-1+13}{2}$$

Suma \frac{13}{2} a -\frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 13-\frac{1}{16}\left(-18\right)\\-\frac{1}{4}\times 13-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

Para que 2x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-4\times 2x-4\left(-1\right)y=-4\times 13,2\left(-4\right)x+2\left(-6\right)y=2\left(-18\right)$$

Simplifica.

$$-8x+4y=-52,-8x-12y=-36$$

Resta -8x-12y=-36 de -8x+4y=-52 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x+4y+12y=-52+36$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y+12y=-52+36$$

Suma 4y a 12y.

$$16y=-52+36$$

Suma -52 a 36.

$$16y=-16$$

Divide ambos lados entre 16.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -4x-6y=-18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x-6\left(-1\right)=-18$$

Multiplica -6 por -1.

$$-4x+6=-18$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-24$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-1$$