Resolver {l}{2x-y=1}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 1 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=1,x+y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=1$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+1.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{1+y}{2} na outra ecuación, x+y=4.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Suma \frac{y}{2} a y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{7}{3}$$

Substitúe y por \frac{7}{3} en x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por \frac{7}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{6}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{7}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=1,x+y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=1,x+y=4$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x-y=1,2x+2y=2\times 4$$

Simplifica.

$$2x-y=1,2x+2y=8$$

Resta 2x+2y=8 de 2x-y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-y-2y=1-8$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-2y=1-8$$

Suma -y a -2y.

$$-3y=1-8$$

Suma 1 a -8.

$$-3y=-7$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=\frac{7}{3}$$

Substitúe y por \frac{7}{3} en x+y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+\frac{7}{3}=4$$

Resta \frac{7}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$