Resolver {l}{2x-y=-2}{y=5x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=-1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=-2$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y-2.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Substitúe x por \frac{y}{2}-1 na outra ecuación, -5x+y=-1.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

Multiplica -5 por \frac{y}{2}-1.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

Suma -\frac{5y}{2} a y.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{1}{2}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

Multiplica \frac{1}{2} por 4.

$$x=2-1$$

Suma -1 a 2.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=-1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=-1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Para que 2x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

Resta -10x+2y=-2 de -10x+5y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

Suma -10x a 10x. -10x e 10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-2y=10+2$$

Suma 5y a -2y.

$$3y=10+2$$

Suma 10 a 2.

$$3y=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en -5x+y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+4=-1$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=4$$