Resolver {l}{2x-6y=16}{-x+2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 16 } \\ { - x + 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-6y=16$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$2x=6y+16$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+16\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 6y+16.

$$x=3y+8$$

Substitúe x por 3y+8 na outra ecuación, -x+2y=-4.

$$-\left(3y+8\right)+2y=-4$$

Multiplica -1 por 3y+8.

$$-3y-8+2y=-4$$

Suma -3y a 2y.

$$-y-8=-4$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-y=4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=3y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\left(-4\right)+8$$

Multiplica 3 por -4.

$$x=-12+8$$

Suma 8 a -12.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&-\frac{-6}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16-3\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\times 16-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2x-\left(-6y\right)=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\left(-4\right)$$

Simplifica.

$$-2x+6y=-16,-2x+4y=-8$$

Resta -2x+4y=-8 de -2x+6y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+6y-4y=-16+8$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-4y=-16+8$$

Suma 6y a -4y.

$$2y=-16+8$$

Suma -16 a 8.

$$2y=-8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en -x+2y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+2\left(-4\right)=-4$$

Multiplica 2 por -4.

$$-x-8=-4$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-x=4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-4$$