Resolver {l}{2x-5y=4}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-5y=4$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=5y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 5y+4.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

Substitúe x por \frac{5y}{2}+2 na outra ecuación, 3x+2y=8.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=8$$

Multiplica 3 por \frac{5y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=8$$

Suma \frac{15y}{2} a 2y.

$$\frac{19}{2}y+6=8$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{2}y=2$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{4}{19}$$

Substitúe y por \frac{4}{19} en x=\frac{5}{2}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{4}{19}+2$$

Multiplica \frac{5}{2} por \frac{4}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{10}{19}+2$$

Suma 2 a \frac{10}{19}.

$$x=\frac{48}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 8\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 8$$

Simplifica.

$$6x-15y=12,6x+4y=16$$

Resta 6x+4y=16 de 6x-15y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-15y-4y=12-16$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-4y=12-16$$

Suma -15y a -4y.

$$-19y=12-16$$

Suma 12 a -16.

$$-19y=-4$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=\frac{4}{19}$$

Substitúe y por \frac{4}{19} en 3x+2y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times \frac{4}{19}=8$$

Multiplica 2 por \frac{4}{19}.

$$3x+\frac{8}{19}=8$$

Resta \frac{8}{19} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{144}{19}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{48}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$