Resolver {l}{2x-5y=100}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 100 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{350}{11} = 31\frac{9}{11} \approx 31.818181818$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-5y=100$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=5y+100$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+100\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 100+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+50$$

Substitúe x por 50+\frac{5y}{2} na outra ecuación, 4x+y=120.

$$4\left(\frac{5}{2}y+50\right)+y=120$$

Multiplica 4 por 50+\frac{5y}{2}.

$$10y+200+y=120$$

Suma 10y a y.

$$11y+200=120$$

Resta 200 en ambos lados da ecuación.

$$11y=-80$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=-\frac{80}{11}$$

Substitúe y por -\frac{80}{11} en x=\frac{5}{2}y+50. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{80}{11}\right)+50$$

Multiplica \frac{5}{2} por -\frac{80}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{200}{11}+50$$

Suma 50 a -\frac{200}{11}.

$$x=\frac{350}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 100+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 100+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{350}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 100,2\times 4x+2y=2\times 120$$

Simplifica.

$$8x-20y=400,8x+2y=240$$

Resta 8x+2y=240 de 8x-20y=400 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-20y-2y=400-240$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-20y-2y=400-240$$

Suma -20y a -2y.

$$-22y=400-240$$

Suma 400 a -240.

$$-22y=160$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=-\frac{80}{11}$$

Substitúe y por -\frac{80}{11} en 4x+y=120. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-\frac{80}{11}=120$$

Suma \frac{80}{11} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{1400}{11}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{350}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$