Resolver {l}{2x-5y=10}{4x+y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-5y=10,4x+y=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-5y=10$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=5y+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

Substitúe x por 5+\frac{5y}{2} na outra ecuación, 4x+y=20.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=20$$

Multiplica 4 por 5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=20$$

Suma 10y a y.

$$11y+20=20$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$11y=0$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{5}{2}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-5y=10,4x+y=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 20\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-5y=10,4x+y=20$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 20$$

Simplifica.

$$8x-20y=40,8x+2y=40$$

Resta 8x+2y=40 de 8x-20y=40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-20y-2y=40-40$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-20y-2y=40-40$$

Suma -20y a -2y.

$$-22y=40-40$$

Suma 40 a -40.

$$-22y=0$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 4x+y=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x=20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=0$$