Resolver {l}{2x-5y=1}{3x+4y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-5y=1,3x+4y=36$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-5y=1$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=5y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 5y+1.

$$x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{5y+1}{2} na outra ecuación, 3x+4y=36.

$$3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y=36$$

Multiplica 3 por \frac{5y+1}{2}.

$$\frac{15}{2}y+\frac{3}{2}+4y=36$$

Suma \frac{15y}{2} a 4y.

$$\frac{23}{2}y+\frac{3}{2}=36$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{23}{2}y=\frac{69}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{23}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{5}{2} por 3.

$$x=\frac{15+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{15}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-5y=1,3x+4y=36$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\36\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\36\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\36\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&\frac{5}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}+\frac{5}{23}\times 36\\-\frac{3}{23}+\frac{2}{23}\times 36\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-5y=1,3x+4y=36$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3,2\times 3x+2\times 4y=2\times 36$$

Simplifica.

$$6x-15y=3,6x+8y=72$$

Resta 6x+8y=72 de 6x-15y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-15y-8y=3-72$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-8y=3-72$$

Suma -15y a -8y.

$$-23y=3-72$$

Suma 3 a -72.

$$-23y=-69$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 3x+4y=36. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\times 3=36$$

Multiplica 4 por 3.

$$3x+12=36$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$3x=24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=3$$