Resolver {l}{2x-4y=-2}{3x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = - 2 } \\ { 3 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-4y=-2$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=4y-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y-2\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 4y-2.

$$x=2y-1$$

Substitúe x por 2y-1 na outra ecuación, 3x+2y=3.

$$3\left(2y-1\right)+2y=3$$

Multiplica 3 por 2y-1.

$$6y-3+2y=3$$

Suma 6y a 2y.

$$8y-3=3$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$8y=6$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=\frac{3}{4}$$

Substitúe y por \frac{3}{4} en x=2y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\times \frac{3}{4}-1$$

Multiplica 2 por \frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{2}-1$$

Suma -1 a \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{16}\left(-2\right)+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-4\right)y=3\left(-2\right),2\times 3x+2\times 2y=2\times 3$$

Simplifica.

$$6x-12y=-6,6x+4y=6$$

Resta 6x+4y=6 de 6x-12y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-12y-4y=-6-6$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-4y=-6-6$$

Suma -12y a -4y.

$$-16y=-6-6$$

Suma -6 a -6.

$$-16y=-12$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=\frac{3}{4}$$

Substitúe y por \frac{3}{4} en 3x+2y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times \frac{3}{4}=3$$

Multiplica 2 por \frac{3}{4}.

$$3x+\frac{3}{2}=3$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$