Resolver {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$2y+3x=-17$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=10$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+5 na outra ecuación, 3x+2y=-17.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

Multiplica 3 por \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

Suma \frac{9y}{2} a 2y.

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{2}y=-32$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Substitúe y por -\frac{64}{13} en x=\frac{3}{2}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

Multiplica \frac{3}{2} por -\frac{64}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

Suma 5 a -\frac{96}{13}.

$$x=-\frac{31}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$2y+3x=-17$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$2y+3x=-17$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

Simplifica.

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

Resta 6x+4y=-34 de 6x-9y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-4y=30+34$$

Suma -9y a -4y.

$$-13y=30+34$$

Suma 30 a 34.

$$-13y=64$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Substitúe y por -\frac{64}{13} en 3x+2y=-17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

Multiplica 2 por -\frac{64}{13}.

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

Suma \frac{128}{13} en ambos lados da ecuación.

$$3x=-\frac{93}{13}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{31}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$