Resolver {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$17y+3x=-11$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=10$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+5 na outra ecuación, 3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

Multiplica 3 por \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

Suma \frac{9y}{2} a 17y.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{43}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Substitúe y por -\frac{52}{43} en x=\frac{3}{2}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

Multiplica \frac{3}{2} por -\frac{52}{43} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

Suma 5 a -\frac{78}{43}.

$$x=\frac{137}{43}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$17y+3x=-11$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 10 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-3y=10$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$17y+3x=-11$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

Simplifica.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

Resta 6x+34y=-22 de 6x-9y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-34y=30+22$$

Suma -9y a -34y.

$$-43y=30+22$$

Suma 30 a 22.

$$-43y=52$$

Divide ambos lados entre -43.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Substitúe y por -\frac{52}{43} en 3x+17y=-11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

Multiplica 17 por -\frac{52}{43}.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

Suma \frac{884}{43} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{411}{43}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{137}{43}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$