Resolver {l}{2x-3y=4}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$y = -\frac{16}{13} = -1\frac{3}{13} \approx -1.230769231$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=4$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+2 na outra ecuación, 5x-y=2.

$$5\left(\frac{3}{2}y+2\right)-y=2$$

Multiplica 5 por \frac{3y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+10-y=2$$

Suma \frac{15y}{2} a -y.

$$\frac{13}{2}y+10=2$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{2}y=-8$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{16}{13}$$

Substitúe y por -\frac{16}{13} en x=\frac{3}{2}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{16}{13}\right)+2$$

Multiplica \frac{3}{2} por -\frac{16}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{24}{13}+2$$

Suma 2 a -\frac{24}{13}.

$$x=\frac{2}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 4+\frac{3}{13}\times 2\\-\frac{5}{13}\times 4+\frac{2}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\-\frac{16}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 4,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Simplifica.

$$10x-15y=20,10x-2y=4$$

Resta 10x-2y=4 de 10x-15y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-15y+2y=20-4$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y+2y=20-4$$

Suma -15y a 2y.

$$-13y=20-4$$

Suma 20 a -4.

$$-13y=16$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=-\frac{16}{13}$$

Substitúe y por -\frac{16}{13} en 5x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-\left(-\frac{16}{13}\right)=2$$

Resta \frac{16}{13} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{10}{13}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{2}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$