Resolver {l}{2x-3y=15}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=15$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+15$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Substitúe x por \frac{15+3y}{2} na outra ecuación, 3x-2y=10.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}\right)-2y=10$$

Multiplica 3 por \frac{15+3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}-2y=10$$

Suma \frac{9y}{2} a -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{45}{2}=10$$

Resta \frac{45}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{25}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-5\right)+\frac{15}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por -5.

$$x=\frac{-15+15}{2}$$

Suma \frac{15}{2} a -\frac{15}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\times 15+\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 10$$

Simplifica.

$$6x-9y=45,6x-4y=20$$

Resta 6x-4y=20 de 6x-9y=45 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-9y+4y=45-20$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y+4y=45-20$$

Suma -9y a 4y.

$$-5y=45-20$$

Suma 45 a -20.

$$-5y=25$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en 3x-2y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\left(-5\right)=10$$

Multiplica -2 por -5.

$$3x+10=10$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$3x=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-5$$