Resolver {l}{2x-3y=12}{4x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 12 } \\ { 4 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=12$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 12+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+6$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+6 na outra ecuación, 4x+3y=24.

$$4\left(\frac{3}{2}y+6\right)+3y=24$$

Multiplica 4 por \frac{3y}{2}+6.

$$6y+24+3y=24$$

Suma 6y a 3y.

$$9y+24=24$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$9y=0$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{3}{2}y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 24\\-\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 12,2\times 4x+2\times 3y=2\times 24$$

Simplifica.

$$8x-12y=48,8x+6y=48$$

Resta 8x+6y=48 de 8x-12y=48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-12y-6y=48-48$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-6y=48-48$$

Suma -12y a -6y.

$$-18y=48-48$$

Suma 48 a -48.

$$-18y=0$$

Divide ambos lados entre -18.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 4x+3y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x=24$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=0$$