Resolver {l}{2x-3y=0}{-x+15y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - x + 15 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

$$y=\frac{4}{27}\approx 0.148148148$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=0,-x+15y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=0$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\times 3y$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

Substitúe x por \frac{3y}{2} na outra ecuación, -x+15y=2.

$$-\frac{3}{2}y+15y=2$$

Suma -\frac{3y}{2} a 15y.

$$\frac{27}{2}y=2$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{27}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{4}{27}$$

Substitúe y por \frac{4}{27} en x=\frac{3}{2}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{4}{27}$$

Multiplica \frac{3}{2} por \frac{4}{27} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{9},y=\frac{4}{27}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=0,-x+15y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{27}&\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\\\frac{4}{27}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2}{9},y=\frac{4}{27}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=0,-x+15y=2$$

Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2x-\left(-3y\right)=0,2\left(-1\right)x+2\times 15y=2\times 2$$

Simplifica.

$$-2x+3y=0,-2x+30y=4$$

Resta -2x+30y=4 de -2x+3y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+3y-30y=-4$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-30y=-4$$

Suma 3y a -30y.

$$-27y=-4$$

Divide ambos lados entre -27.

$$y=\frac{4}{27}$$

Substitúe y por \frac{4}{27} en -x+15y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+15\times \frac{4}{27}=2$$

Multiplica 15 por \frac{4}{27}.

$$-x+\frac{20}{9}=2$$

Resta \frac{20}{9} en ambos lados da ecuación.

$$-x=-\frac{2}{9}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=\frac{2}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{9},y=\frac{4}{27}$$