Resolver {l}{2x-3y=-1}{5x+2y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 5 x + 2 y = 26 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=-1$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y-1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y-1}{2} na outra ecuación, 5x+2y=26.

$$5\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+2y=26$$

Multiplica 5 por \frac{3y-1}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{5}{2}+2y=26$$

Suma \frac{15y}{2} a 2y.

$$\frac{19}{2}y-\frac{5}{2}=26$$

Suma \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{2}y=\frac{57}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por 3.

$$x=\frac{9-1}{2}$$

Suma -\frac{1}{2} a \frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-1\right)+\frac{3}{19}\times 26\\-\frac{5}{19}\left(-1\right)+\frac{2}{19}\times 26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\left(-1\right),2\times 5x+2\times 2y=2\times 26$$

Simplifica.

$$10x-15y=-5,10x+4y=52$$

Resta 10x+4y=52 de 10x-15y=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-15y-4y=-5-52$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-4y=-5-52$$

Suma -15y a -4y.

$$-19y=-5-52$$

Suma -5 a -52.

$$-19y=-57$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 5x+2y=26. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+2\times 3=26$$

Multiplica 2 por 3.

$$5x+6=26$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$5x=20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$