Resolver {l}{2x-2y=12}{5x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 12 } \\ { 5 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-2y=12$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=2y+12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 12+2y.

$$x=y+6$$

Substitúe x por y+6 na outra ecuación, 5x-2y=9.

$$5\left(y+6\right)-2y=9$$

Multiplica 5 por y+6.

$$5y+30-2y=9$$

Suma 5y a -2y.

$$3y+30=9$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$3y=-21$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en x=y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-7+6$$

Suma 6 a -7.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

Resta 5x-2y=9 de 2x-2y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-5x-2y+2y=12-9$$

Suma -2y a 2y. -2y e 2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-5x=12-9$$

Suma 2x a -5x.

$$-3x=12-9$$

Suma 12 a -9.

$$-3x=3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en 5x-2y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$5\left(-1\right)-2y=9$$

Multiplica 5 por -1.

$$-5-2y=9$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=14$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-7$$