Resolver {l}{2x-2y=1}{4y-1/2=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 1 } \\ { \frac { 4 y - 1 } { 2 } = x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Divide cada termo de 4y-1 entre 2 para obter 2y-\frac{1}{2}.

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

Resta x en ambos lados.

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

Engadir \frac{1}{2} en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-2y=1$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=2y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 2y+1.

$$x=y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por y+\frac{1}{2} na outra ecuación, -x+2y=\frac{1}{2}.

$$-\left(y+\frac{1}{2}\right)+2y=\frac{1}{2}$$

Multiplica -1 por y+\frac{1}{2}.

$$-y-\frac{1}{2}+2y=\frac{1}{2}$$

Suma -y a 2y.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=1+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a 1.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Divide cada termo de 4y-1 entre 2 para obter 2y-\frac{1}{2}.

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

Resta x en ambos lados.

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

Engadir \frac{1}{2} en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1+\frac{1}{2}\\\frac{1+1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Divide cada termo de 4y-1 entre 2 para obter 2y-\frac{1}{2}.

$$2y-\frac{1}{2}=x$$

Resta x en ambos lados.

$$2y-\frac{1}{2}-x=0$$

Engadir \frac{1}{2} en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2y-x=\frac{1}{2}$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-2y=1,-x+2y=\frac{1}{2}$$

Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2x-\left(-2y\right)=-1,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\times \frac{1}{2}$$

Simplifica.

$$-2x+2y=-1,-2x+4y=1$$

Resta -2x+4y=1 de -2x+2y=-1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+2y-4y=-1-1$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-4y=-1-1$$

Suma 2y a -4y.

$$-2y=-1-1$$

Suma -1 a -1.

$$-2y=-2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -x+2y=\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+2=\frac{1}{2}$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$