Resolver {l}{2x+y-17=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 17 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y-17=0,17x-11y-8=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y-17=0$$

Suma 17 en ambos lados da ecuación.

$$2x+y=17$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+17$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+17.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+17}{2} na outra ecuación, 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)-11y-8=0$$

Multiplica 17 por \frac{-y+17}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{289}{2}-11y-8=0$$

Suma -\frac{17y}{2} a -11y.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{289}{2}-8=0$$

Suma \frac{289}{2} a -8.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{273}{2}=0$$

Resta \frac{273}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{273}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{39}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{17}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 7.

$$x=\frac{-7+17}{2}$$

Suma \frac{17}{2} a -\frac{7}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y-17=0,17x-11y-8=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 17+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 17-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y-17=0,17x-11y-8=0$$

Para que 2x e 17x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 17 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$17\times 2x+17y+17\left(-17\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

Simplifica.

$$34x+17y-289=0,34x-22y-16=0$$

Resta 34x-22y-16=0 de 34x+17y-289=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$34x-34x+17y+22y-289+16=0$$

Suma 34x a -34x. 34x e -34x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$17y+22y-289+16=0$$

Suma 17y a 22y.

$$39y-289+16=0$$

Suma -289 a 16.

$$39y-273=0$$

Suma 273 en ambos lados da ecuación.

$$39y=273$$

Divide ambos lados entre 39.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en 17x-11y-8=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$17x-11\times 7-8=0$$

Multiplica -11 por 7.

$$17x-77-8=0$$

Suma -77 a -8.

$$17x-85=0$$

Suma 85 en ambos lados da ecuación.

$$17x=85$$

Divide ambos lados entre 17.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=7$$