Resolver {l}{2x+y=9}{2x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 9 } \\ { 2 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6.25$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+9$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+9.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+9}{2} na outra ecuación, 2x+3y=2.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)+3y=2$$

Multiplica 2 por \frac{-y+9}{2}.

$$-y+9+3y=2$$

Suma -y a 3y.

$$2y+9=2$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-7$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Substitúe y por -\frac{7}{2} en x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{9}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -\frac{7}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{4}+\frac{9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a \frac{7}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{25}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 9-\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{4}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Resta 2x+3y=2 de 2x+y=9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+y-3y=9-2$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-3y=9-2$$

Suma y a -3y.

$$-2y=9-2$$

Suma 9 a -2.

$$-2y=7$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Substitúe y por -\frac{7}{2} en 2x+3y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\left(-\frac{7}{2}\right)=2$$

Multiplica 3 por -\frac{7}{2}.

$$2x-\frac{21}{2}=2$$

Suma \frac{21}{2} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{25}{2}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{25}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$