Resolver {l}{2x+y=8}{2x+3y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 22 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=8$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+4 na outra ecuación, 2x+3y=22.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+3y=22$$

Multiplica 2 por -\frac{y}{2}+4.

$$-y+8+3y=22$$

Suma -y a 3y.

$$2y+8=22$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$2y=14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=-\frac{1}{2}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+4$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 7.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

Suma 4 a -\frac{7}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 22\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Resta 2x+3y=22 de 2x+y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+y-3y=8-22$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-3y=8-22$$

Suma y a -3y.

$$-2y=8-22$$

Suma 8 a -22.

$$-2y=-14$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en 2x+3y=22. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\times 7=22$$

Multiplica 3 por 7.

$$2x+21=22$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$2x=1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$