Resolver {l}{2x+y=5}{6x+6y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { 6 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+5}{2} na outra ecuación, 6x+6y=24.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

Multiplica 6 por \frac{-y+5}{2}.

$$-3y+15+6y=24$$

Suma -3y a 6y.

$$3y+15=24$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$3y=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{5}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 3.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -\frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-6}&-\frac{1}{2\times 6-6}\\-\frac{6}{2\times 6-6}&\frac{2}{2\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-\frac{1}{6}\times 24\\-5+\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=5,6x+6y=24$$

Para que 2x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$6\times 2x+6y=6\times 5,2\times 6x+2\times 6y=2\times 24$$

Simplifica.

$$12x+6y=30,12x+12y=48$$

Resta 12x+12y=48 de 12x+6y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+6y-12y=30-48$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-12y=30-48$$

Suma 6y a -12y.

$$-6y=30-48$$

Suma 30 a -48.

$$-6y=-18$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 6x+6y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+6\times 3=24$$

Multiplica 6 por 3.

$$6x+18=24$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$6x=6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=3$$