Resolver {l}{2x+y=4}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=4,x-y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=4$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+2 na outra ecuación, x-y=2.

$$-\frac{1}{2}y+2-y=2$$

Suma -\frac{y}{2} a -y.

$$-\frac{3}{2}y+2=2$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{1}{2}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=4,x-y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=4,x-y=2$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+y=4,2x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Simplifica.

$$2x+y=4,2x-2y=4$$

Resta 2x-2y=4 de 2x+y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+y+2y=4-4$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+2y=4-4$$

Suma y a 2y.

$$3y=4-4$$

Suma 4 a -4.

$$3y=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$