Resolver {l}{2x+y=3}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=3$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+3}{2} na outra ecuación, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=1$$

Multiplica -2 por \frac{-y+3}{2}.

$$y-3+y=1$$

Suma y a y.

$$2y-3=1$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$2y=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+\frac{3}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 2.

$$x=-1+\frac{3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a -1.

$$x=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}&\frac{2}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

Resta -2x+y=1 de 2x+y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x+2x+y-y=3-1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x+2x=3-1$$

Suma 2x a 2x.

$$4x=3-1$$

Suma 3 a -1.

$$4x=2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{1}{2} en -2x+y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-2\times \frac{1}{2}+y=1$$

Multiplica -2 por \frac{1}{2}.

$$-1+y=1$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$