Resolver {l}{2x+y=20}{5y+3x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 20 } \\ { 5 y + 3 x = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{90}{7} = 12\frac{6}{7} \approx 12.857142857$$

$$y = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=20,3x+5y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=20$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+20$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+20\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+20.

$$x=-\frac{1}{2}y+10$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+10 na outra ecuación, 3x+5y=10.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+10\right)+5y=10$$

Multiplica 3 por -\frac{y}{2}+10.

$$-\frac{3}{2}y+30+5y=10$$

Suma -\frac{3y}{2} a 5y.

$$\frac{7}{2}y+30=10$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=-20$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{40}{7}$$

Substitúe y por -\frac{40}{7} en x=-\frac{1}{2}y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{40}{7}\right)+10$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -\frac{40}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{20}{7}+10$$

Suma 10 a \frac{20}{7}.

$$x=\frac{90}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{40}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=20,3x+5y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 20-\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 20+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{7}\\-\frac{40}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{40}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=20,3x+5y=10$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 20,2\times 3x+2\times 5y=2\times 10$$

Simplifica.

$$6x+3y=60,6x+10y=20$$

Resta 6x+10y=20 de 6x+3y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+3y-10y=60-20$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-10y=60-20$$

Suma 3y a -10y.

$$-7y=60-20$$

Suma 60 a -20.

$$-7y=40$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=-\frac{40}{7}$$

Substitúe y por -\frac{40}{7} en 3x+5y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+5\left(-\frac{40}{7}\right)=10$$

Multiplica 5 por -\frac{40}{7}.

$$3x-\frac{200}{7}=10$$

Suma \frac{200}{7} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{270}{7}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{90}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{40}{7}$$