Resolver {l}{2x+y=2}{y=-x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 2 } \\ { y = - x - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=2$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+1$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+1 na outra ecuación, x+y=-2.

$$-\frac{1}{2}y+1+y=-2$$

Suma -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y+1=-2$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=-3$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=-\frac{1}{2}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)+1$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -6.

$$x=3+1$$

Suma 1 a 3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\left(-2\right)\\-2+2\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Resta x+y=-2 de 2x+y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-x+y-y=2+2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-x=2+2$$

Suma 2x a -x.

$$x=2+2$$

Suma 2 a 2.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en x+y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$4+y=-2$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=-6$$