Resolver {l}{2x+y=18}{3x+2y=28}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 18 } \\ { 3 x + 2 y = 28 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=18$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+18$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+9 na outra ecuación, 3x+2y=28.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=28$$

Multiplica 3 por -\frac{y}{2}+9.

$$-\frac{3}{2}y+27+2y=28$$

Suma -\frac{3y}{2} a 2y.

$$\frac{1}{2}y+27=28$$

Resta 27 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=1$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{1}{2}y+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+9$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 2.

$$x=-1+9$$

Suma 9 a -1.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 18-28\\-3\times 18+2\times 28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 18,2\times 3x+2\times 2y=2\times 28$$

Simplifica.

$$6x+3y=54,6x+4y=56$$

Resta 6x+4y=56 de 6x+3y=54 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+3y-4y=54-56$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-4y=54-56$$

Suma 3y a -4y.

$$-y=54-56$$

Suma 54 a -56.

$$-y=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 3x+2y=28. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times 2=28$$

Multiplica 2 por 2.

$$3x+4=28$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$3x=24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=2$$