Resolver {l}{2x+y=17}{5x-5y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 17 } \\ { 5 x - 5 y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=17$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+17$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+17.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+17}{2} na outra ecuación, 5x-5y=5.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)-5y=5$$

Multiplica 5 por \frac{-y+17}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{85}{2}-5y=5$$

Suma -\frac{5y}{2} a -5y.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{85}{2}=5$$

Resta \frac{85}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{15}{2}y=-\frac{75}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{15}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{17}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 5.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

Suma \frac{17}{2} a -\frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&-\frac{1}{2\left(-5\right)-5}\\-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&\frac{2}{2\left(-5\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{15}\times 5\\\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5y=5\times 17,2\times 5x+2\left(-5\right)y=2\times 5$$

Simplifica.

$$10x+5y=85,10x-10y=10$$

Resta 10x-10y=10 de 10x+5y=85 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+5y+10y=85-10$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+10y=85-10$$

Suma 5y a 10y.

$$15y=85-10$$

Suma 85 a -10.

$$15y=75$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 5x-5y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-5\times 5=5$$

Multiplica -5 por 5.

$$5x-25=5$$

Suma 25 en ambos lados da ecuación.

$$5x=30$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=5$$