Resolver {l}{2x+y=12}{3x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=12$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+6 na outra ecuación, 3x-2y=8.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

Multiplica 3 por -\frac{y}{2}+6.

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

Suma -\frac{3y}{2} a -2y.

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{20}{7}$$

Substitúe y por \frac{20}{7} en x=-\frac{1}{2}y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{20}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

Suma 6 a -\frac{10}{7}.

$$x=\frac{32}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

Simplifica.

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

Resta 6x-4y=16 de 6x+3y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+4y=36-16$$

Suma 3y a 4y.

$$7y=36-16$$

Suma 36 a -16.

$$7y=20$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=\frac{20}{7}$$

Substitúe y por \frac{20}{7} en 3x-2y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

Multiplica -2 por \frac{20}{7}.

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

Suma \frac{40}{7} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{96}{7}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{32}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$