Resolver {l}{2x+y=11}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=11$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+11$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+11.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+11}{2} na outra ecuación, 3x-y=9.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)-y=9$$

Multiplica 3 por \frac{-y+11}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{33}{2}-y=9$$

Suma -\frac{3y}{2} a -y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}=9$$

Resta \frac{33}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{11}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 3.

$$x=\frac{-3+11}{2}$$

Suma \frac{11}{2} a -\frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 11+\frac{1}{5}\times 9\\\frac{3}{5}\times 11-\frac{2}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 11,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 9$$

Simplifica.

$$6x+3y=33,6x-2y=18$$

Resta 6x-2y=18 de 6x+3y=33 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+3y+2y=33-18$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+2y=33-18$$

Suma 3y a 2y.

$$5y=33-18$$

Suma 33 a -18.

$$5y=15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 3x-y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-3=9$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$3x=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$