Resolver {l}{2x+y=10}{3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 10 } \\ { 3 x = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$3x-y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=10$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+10.

$$x=-\frac{1}{2}y+5$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+5 na outra ecuación, 3x-y=0.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+5\right)-y=0$$

Multiplica 3 por -\frac{y}{2}+5.

$$-\frac{3}{2}y+15-y=0$$

Suma -\frac{3y}{2} a -y.

$$-\frac{5}{2}y+15=0$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}y=-15$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{1}{2}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 6+5$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 6.

$$x=-3+5$$

Suma 5 a -3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$3x-y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10\\\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$3x-y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 10,2\times 3x+2\left(-1\right)y=0$$

Simplifica.

$$6x+3y=30,6x-2y=0$$

Resta 6x-2y=0 de 6x+3y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+3y+2y=30$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+2y=30$$

Suma 3y a 2y.

$$5y=30$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 3x-y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-6=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=6$$