Resolver {l}{2x+y=1}{x+3y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 1 } \\ { x + 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=1,x+3y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=1$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+1}{2} na outra ecuación, x+3y=0.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+3y=0$$

Suma -\frac{y}{2} a 3y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}=0$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Substitúe y por -\frac{1}{5} en x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -\frac{1}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{10}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{1}{10} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{5},y=-\frac{1}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=1,x+3y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-1}&-\frac{1}{2\times 3-1}\\-\frac{1}{2\times 3-1}&\frac{2}{2\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{5},y=-\frac{1}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=1,x+3y=0$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+y=1,2x+2\times 3y=0$$

Simplifica.

$$2x+y=1,2x+6y=0$$

Resta 2x+6y=0 de 2x+y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+y-6y=1$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-6y=1$$

Suma y a -6y.

$$-5y=1$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Substitúe y por -\frac{1}{5} en x+3y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\left(-\frac{1}{5}\right)=0$$

Multiplica 3 por -\frac{1}{5}.

$$x-\frac{3}{5}=0$$

Suma \frac{3}{5} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{5},y=-\frac{1}{5}$$