Resolver {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 7x en ambos lados.

$$y-7x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=-6$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}-3 na outra ecuación, -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Multiplica -7 por -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Suma \frac{7y}{2} a y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-\frac{1}{2}y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -4.

$$x=2-3$$

Suma -3 a 2.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 7x en ambos lados.

$$y-7x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 7x en ambos lados.

$$y-7x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Resta -7x+y=3 de 2x+y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x+7x=-6-3$$

Suma 2x a 7x.

$$9x=-6-3$$

Suma -6 a -3.

$$9x=-9$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en -7x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Multiplica -7 por -1.

$$7+y=3$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-4$$