Resolver {l}{2x+y=-19}{x+4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 19 } \\ { x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{87}{7} = -12\frac{3}{7} \approx -12.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=-19$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y-19$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-19\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y-19.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y-19}{2} na outra ecuación, x+4y=11.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}+4y=11$$

Suma -\frac{y}{2} a 4y.

$$\frac{7}{2}y-\frac{19}{2}=11$$

Suma \frac{19}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=\frac{41}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{41}{7}$$

Substitúe y por \frac{41}{7} en x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{41}{7}-\frac{19}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{41}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{41}{14}-\frac{19}{2}$$

Suma -\frac{19}{2} a -\frac{41}{14} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{87}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-1}&-\frac{1}{2\times 4-1}\\-\frac{1}{2\times 4-1}&\frac{2}{2\times 4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-19\right)-\frac{1}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-19\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{87}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+y=-19,2x+2\times 4y=2\times 11$$

Simplifica.

$$2x+y=-19,2x+8y=22$$

Resta 2x+8y=22 de 2x+y=-19 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+y-8y=-19-22$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-8y=-19-22$$

Suma y a -8y.

$$-7y=-19-22$$

Suma -19 a -22.

$$-7y=-41$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{41}{7}$$

Substitúe y por \frac{41}{7} en x+4y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+4\times \frac{41}{7}=11$$

Multiplica 4 por \frac{41}{7}.

$$x+\frac{164}{7}=11$$

Resta \frac{164}{7} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{87}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$