Resolver {l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-7$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=-16$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y-16$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y-16.

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}-8 na outra ecuación, -4x+10y=8.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

Multiplica -4 por -\frac{y}{2}-8.

$$2y+32+10y=8$$

Suma 2y a 10y.

$$12y+32=8$$

Resta 32 en ambos lados da ecuación.

$$12y=-24$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-\frac{1}{2}y-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -2.

$$x=1-8$$

Suma -8 a 1.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-7,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Para que 2x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

Simplifica.

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

Resta -8x+20y=16 de -8x-4y=64 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-20y=64-16$$

Suma -4y a -20y.

$$-24y=64-16$$

Suma 64 a -16.

$$-24y=48$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en -4x+10y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

Multiplica 10 por -2.

$$-4x-20=8$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=28$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=-2$$