Resolver {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+9y=19$$

Resta 9y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-9y+19$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

Substitúe x por \frac{-9y+19}{2} na outra ecuación, 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

Multiplica 4 por \frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

Suma -18y a my.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

Resta 38 en ambos lados da ecuación.

$$\left(m-18\right)y=15$$

Divide ambos lados entre -18+m.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

Substitúe y por \frac{15}{-18+m} en x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

Multiplica -\frac{9}{2} por \frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

Suma \frac{19}{2} a -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

Simplifica.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

Resta 8x+2my=106 de 8x+36y=76 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Suma 36y a -2my.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

Suma 76 a -106.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

Divide ambos lados entre 36-2m.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

Substitúe y por -\frac{15}{18-m} en 4x+my=53. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

Multiplica m por -\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

Suma \frac{15m}{18-m} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$