Resolver {l}{2x+8y=64}{7x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 64 } \\ { 7 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+8y=64$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-8y+64$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+64\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -8y+64.

$$x=-4y+32$$

Substitúe x por -4y+32 na outra ecuación, 7x+y=8.

$$7\left(-4y+32\right)+y=8$$

Multiplica 7 por -4y+32.

$$-28y+224+y=8$$

Suma -28y a y.

$$-27y+224=8$$

Resta 224 en ambos lados da ecuación.

$$-27y=-216$$

Divide ambos lados entre -27.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=-4y+32. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times 8+32$$

Multiplica -4 por 8.

$$x=-32+32$$

Suma 32 a -32.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8\times 7}&-\frac{8}{2-8\times 7}\\-\frac{7}{2-8\times 7}&\frac{2}{2-8\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{4}{27}\\\frac{7}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 64+\frac{4}{27}\times 8\\\frac{7}{54}\times 64-\frac{1}{27}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Para que 2x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$7\times 2x+7\times 8y=7\times 64,2\times 7x+2y=2\times 8$$

Simplifica.

$$14x+56y=448,14x+2y=16$$

Resta 14x+2y=16 de 14x+56y=448 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14x-14x+56y-2y=448-16$$

Suma 14x a -14x. 14x e -14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$56y-2y=448-16$$

Suma 56y a -2y.

$$54y=448-16$$

Suma 448 a -16.

$$54y=432$$

Divide ambos lados entre 54.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en 7x+y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+8=8$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$7x=0$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=8$$