Resolver {l}{2x+7y=5}{3x+6y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 5 } \\ { 3 x + 6 y = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{110}{9} = 12\frac{2}{9} \approx 12.222222222$$

$$y = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2.777777778$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+7y=5$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-7y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -7y+5.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{-7y+5}{2} na outra ecuación, 3x+6y=20.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=20$$

Multiplica 3 por \frac{-7y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{15}{2}+6y=20$$

Suma -\frac{21y}{2} a 6y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}=20$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{25}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{25}{9}$$

Substitúe y por -\frac{25}{9} en x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{25}{9}\right)+\frac{5}{2}$$

Multiplica -\frac{7}{2} por -\frac{25}{9} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{175}{18}+\frac{5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a \frac{175}{18} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{110}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-7\times 3}&-\frac{7}{2\times 6-7\times 3}\\-\frac{3}{2\times 6-7\times 3}&\frac{2}{2\times 6-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 5+\frac{7}{9}\times 20\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{9}\\-\frac{25}{9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 5,2\times 3x+2\times 6y=2\times 20$$

Simplifica.

$$6x+21y=15,6x+12y=40$$

Resta 6x+12y=40 de 6x+21y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+21y-12y=15-40$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$21y-12y=15-40$$

Suma 21y a -12y.

$$9y=15-40$$

Suma 15 a -40.

$$9y=-25$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=-\frac{25}{9}$$

Substitúe y por -\frac{25}{9} en 3x+6y=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+6\left(-\frac{25}{9}\right)=20$$

Multiplica 6 por -\frac{25}{9}.

$$3x-\frac{50}{3}=20$$

Suma \frac{50}{3} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{110}{3}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{110}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$