Resolver {l}{2x+5y=7}{-3x+y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 7 } \\ { - 3 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=7$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y+7$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y+7.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

Substitúe x por \frac{-5y+7}{2} na outra ecuación, -3x+y=15.

$$-3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=15$$

Multiplica -3 por \frac{-5y+7}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{21}{2}+y=15$$

Suma \frac{15y}{2} a y.

$$\frac{17}{2}y-\frac{21}{2}=15$$

Suma \frac{21}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{17}{2}y=\frac{51}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{17}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{2} por 3.

$$x=\frac{-15+7}{2}$$

Suma \frac{7}{2} a -\frac{15}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-5\left(-3\right)}&\frac{2}{2-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 7-\frac{5}{17}\times 15\\\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

Para que 2x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-3\times 2x-3\times 5y=-3\times 7,2\left(-3\right)x+2y=2\times 15$$

Simplifica.

$$-6x-15y=-21,-6x+2y=30$$

Resta -6x+2y=30 de -6x-15y=-21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6x+6x-15y-2y=-21-30$$

Suma -6x a 6x. -6x e 6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-2y=-21-30$$

Suma -15y a -2y.

$$-17y=-21-30$$

Suma -21 a -30.

$$-17y=-51$$

Divide ambos lados entre -17.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en -3x+y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+3=15$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=3$$