Resolver {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=259$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y+259$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Substitúe x por \frac{-5y+259}{2} na outra ecuación, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Multiplica 199 por \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Suma -\frac{995y}{2} a -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Resta \frac{51541}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{999}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Substitúe y por \frac{16429}{333} en x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{2} por \frac{16429}{333} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Suma \frac{259}{2} a -\frac{82145}{666} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2051}{333}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Para que 2x e 199x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 199 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Simplifica.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Resta 398x-4y=2254 de 398x+995y=51541 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Suma 398x a -398x. 398x e -398x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$995y+4y=51541-2254$$

Suma 995y a 4y.

$$999y=51541-2254$$

Suma 51541 a -2254.

$$999y=49287$$

Divide ambos lados entre 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Substitúe y por \frac{16429}{333} en 199x-2y=1127. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Multiplica -2 por \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Suma \frac{32858}{333} en ambos lados da ecuación.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Divide ambos lados entre 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$