Resolver {l}{2x+5y=20}{3x-2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 20 } \\ { 3 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=20$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y+20$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+20\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y+20.

$$x=-\frac{5}{2}y+10$$

Substitúe x por -\frac{5y}{2}+10 na outra ecuación, 3x-2y=11.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+10\right)-2y=11$$

Multiplica 3 por -\frac{5y}{2}+10.

$$-\frac{15}{2}y+30-2y=11$$

Suma -\frac{15y}{2} a -2y.

$$-\frac{19}{2}y+30=11$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{19}{2}y=-19$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{5}{2}y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\times 2+10$$

Multiplica -\frac{5}{2} por 2.

$$x=-5+10$$

Suma 10 a -5.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 20+\frac{5}{19}\times 11\\\frac{3}{19}\times 20-\frac{2}{19}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 20,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 11$$

Simplifica.

$$6x+15y=60,6x-4y=22$$

Resta 6x-4y=22 de 6x+15y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+15y+4y=60-22$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y+4y=60-22$$

Suma 15y a 4y.

$$19y=60-22$$

Suma 60 a -22.

$$19y=38$$

Divide ambos lados entre 19.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 3x-2y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times 2=11$$

Multiplica -2 por 2.

$$3x-4=11$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$3x=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=2$$