Resolver {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$6y+5x=6$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=17$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y+17$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

Substitúe x por \frac{-5y+17}{2} na outra ecuación, 5x+6y=6.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

Multiplica 5 por \frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

Suma -\frac{25y}{2} a 6y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

Resta \frac{85}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{73}{13}$$

Substitúe y por \frac{73}{13} en x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{2} por \frac{73}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

Suma \frac{17}{2} a -\frac{365}{26} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{72}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$6y+5x=6$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$6y+5x=6$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

Simplifica.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

Resta 10x+12y=12 de 10x+25y=85 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$25y-12y=85-12$$

Suma 25y a -12y.

$$13y=85-12$$

Suma 85 a -12.

$$13y=73$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=\frac{73}{13}$$

Substitúe y por \frac{73}{13} en 5x+6y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

Multiplica 6 por \frac{73}{13}.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

Resta \frac{438}{13} en ambos lados da ecuación.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-\frac{72}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$