Resolver {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{7}{5}x en ambos lados.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=-10$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y-10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y-10.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Substitúe x por -\frac{5y}{2}-5 na outra ecuación, \frac{7}{5}x+y=3.

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

Multiplica \frac{7}{5} por -\frac{5y}{2}-5.

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

Suma -\frac{7y}{2} a y.

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}y=10$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-\frac{5}{2}y-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

Multiplica -\frac{5}{2} por -4.

$$x=10-5$$

Suma -5 a 10.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{7}{5}x en ambos lados.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{7}{5}x en ambos lados.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Para que 2x e \frac{7x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{7}{5} e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

Simplifica.

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

Resta \frac{14}{5}x+2y=6 de \frac{14}{5}x+7y=-14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

Suma \frac{14x}{5} a -\frac{14x}{5}. \frac{14x}{5} e -\frac{14x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7y-2y=-14-6$$

Suma 7y a -2y.

$$5y=-14-6$$

Suma -14 a -6.

$$5y=-20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en \frac{7}{5}x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{5}x=7$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-4$$