Resolver {l}{2x+4y=8}{3y-2x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 8 } \\ { 3 y - 2 x = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+4y=8$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-4y+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y+8.

$$x=-2y+4$$

Substitúe x por -2y+4 na outra ecuación, -2x+3y=6.

$$-2\left(-2y+4\right)+3y=6$$

Multiplica -2 por -2y+4.

$$4y-8+3y=6$$

Suma 4y a 3y.

$$7y-8=6$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$7y=14$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-2y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 2+4$$

Multiplica -2 por 2.

$$x=-4+4$$

Suma 4 a -4.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{2\times 3-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-4\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 8-\frac{2}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 8+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Para que 2x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2\times 2x-2\times 4y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\times 6$$

Simplifica.

$$-4x-8y=-16,-4x+6y=12$$

Resta -4x+6y=12 de -4x-8y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x-8y-6y=-16-12$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-6y=-16-12$$

Suma -8y a -6y.

$$-14y=-16-12$$

Suma -16 a -12.

$$-14y=-28$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -2x+3y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+3\times 2=6$$

Multiplica 3 por 2.

$$-2x+6=6$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=0$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$