Resolver {l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+4y=362$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-4y+362$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y+362.

$$x=-2y+181$$

Substitúe x por -2y+181 na outra ecuación, 3x+2y=153.5.

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

Multiplica 3 por -2y+181.

$$-6y+543+2y=153.5$$

Suma -6y a 2y.

$$-4y+543=153.5$$

Resta 543 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-389.5$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=97.375$$

Substitúe y por 97.375 en x=-2y+181. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 97.375+181$$

Multiplica -2 por 97.375.

$$x=-194.75+181$$

Suma 181 a -194.75.

$$x=-13.75$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-13.75,y=97.375$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

Simplifica.

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

Resta 6x+4y=307 de 6x+12y=1086 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-4y=1086-307$$

Suma 12y a -4y.

$$8y=1086-307$$

Suma 1086 a -307.

$$8y=779$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=\frac{779}{8}$$

Substitúe y por \frac{779}{8} en 3x+2y=153.5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

Multiplica 2 por \frac{779}{8}.

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

Resta \frac{779}{4} en ambos lados da ecuación.

$$3x=-\frac{165}{4}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{55}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$