Resolver {l}{2x+4y=12}{3x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 3 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+4y=12$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-4y+12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Substitúe x por -2y+6 na outra ecuación, 3x+y=6.

$$3\left(-2y+6\right)+y=6$$

Multiplica 3 por -2y+6.

$$-6y+18+y=6$$

Suma -6y a y.

$$-5y+18=6$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-12$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=\frac{12}{5}$$

Substitúe y por \frac{12}{5} en x=-2y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{12}{5}+6$$

Multiplica -2 por \frac{12}{5}.

$$x=-\frac{24}{5}+6$$

Suma 6 a -\frac{24}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 3}&-\frac{4}{2-4\times 3}\\-\frac{3}{2-4\times 3}&\frac{2}{2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{2}{5}\times 6\\\frac{3}{10}\times 12-\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 12,2\times 3x+2y=2\times 6$$

Simplifica.

$$6x+12y=36,6x+2y=12$$

Resta 6x+2y=12 de 6x+12y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+12y-2y=36-12$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-2y=36-12$$

Suma 12y a -2y.

$$10y=36-12$$

Suma 36 a -12.

$$10y=24$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=\frac{12}{5}$$

Substitúe y por \frac{12}{5} en 3x+y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+\frac{12}{5}=6$$

Resta \frac{12}{5} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{18}{5}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{6}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$