Resolver {l}{2x+4y=-4}{2x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+4y=-4$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-4y-4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y-4.

$$x=-2y-2$$

Substitúe x por -2y-2 na outra ecuación, 2x+y=8.

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

Multiplica 2 por -2y-2.

$$-4y-4+y=8$$

Suma -4y a y.

$$-3y-4=8$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-2y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

Multiplica -2 por -4.

$$x=8-2$$

Suma -2 a 8.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Resta 2x+y=8 de 2x+4y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-y=-4-8$$

Suma 4y a -y.

$$3y=-4-8$$

Suma -4 a -8.

$$3y=-12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 2x+y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-4=8$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$2x=12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-4$$