Resolver {l}{2x+3y=8}{9x+4y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 9 x + 4 y = 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{10}{19}\approx 0.526315789$$

$$y = \frac{44}{19} = 2\frac{6}{19} \approx 2.315789474$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=8$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+4 na outra ecuación, 9x+4y=14.

$$9\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+4y=14$$

Multiplica 9 por -\frac{3y}{2}+4.

$$-\frac{27}{2}y+36+4y=14$$

Suma -\frac{27y}{2} a 4y.

$$-\frac{19}{2}y+36=14$$

Resta 36 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{19}{2}y=-22$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{44}{19}$$

Substitúe y por \frac{44}{19} en x=-\frac{3}{2}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{44}{19}+4$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{44}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{66}{19}+4$$

Suma 4 a -\frac{66}{19}.

$$x=\frac{10}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 9}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 9}\\-\frac{9}{2\times 4-3\times 9}&\frac{2}{2\times 4-3\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 14\\\frac{9}{19}\times 8-\frac{2}{19}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{19}\\\frac{44}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Para que 2x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$9\times 2x+9\times 3y=9\times 8,2\times 9x+2\times 4y=2\times 14$$

Simplifica.

$$18x+27y=72,18x+8y=28$$

Resta 18x+8y=28 de 18x+27y=72 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x+27y-8y=72-28$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$27y-8y=72-28$$

Suma 27y a -8y.

$$19y=72-28$$

Suma 72 a -28.

$$19y=44$$

Divide ambos lados entre 19.

$$y=\frac{44}{19}$$

Substitúe y por \frac{44}{19} en 9x+4y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x+4\times \frac{44}{19}=14$$

Multiplica 4 por \frac{44}{19}.

$$9x+\frac{176}{19}=14$$

Resta \frac{176}{19} en ambos lados da ecuación.

$$9x=\frac{90}{19}$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{10}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$