Resolver {l}{2x+3y=8}{6x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=8$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+4 na outra ecuación, 6x-3y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+4\right)-3y=10$$

Multiplica 6 por -\frac{3y}{2}+4.

$$-9y+24-3y=10$$

Suma -9y a -3y.

$$-12y+24=10$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$-12y=-14$$

Divide ambos lados entre -12.

$$y=\frac{7}{6}$$

Substitúe y por \frac{7}{6} en x=-\frac{3}{2}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{6}+4$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{7}{6} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{7}{4}+4$$

Suma 4 a -\frac{7}{4}.

$$x=\frac{9}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 10\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Para que 2x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 8,2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

Simplifica.

$$12x+18y=48,12x-6y=20$$

Resta 12x-6y=20 de 12x+18y=48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+18y+6y=48-20$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$18y+6y=48-20$$

Suma 18y a 6y.

$$24y=48-20$$

Suma 48 a -20.

$$24y=28$$

Divide ambos lados entre 24.

$$y=\frac{7}{6}$$

Substitúe y por \frac{7}{6} en 6x-3y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-3\times \frac{7}{6}=10$$

Multiplica -3 por \frac{7}{6}.

$$6x-\frac{7}{2}=10$$

Suma \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{27}{2}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{9}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$